21點:賭場裡最可能贏錢的遊戲

小時候人人都有一個賭神夢。長大了我們才知道,哪有逢賭必贏,都是十賭九輸。想想也是,都贏莊家吃什麼。要說“賭場裡都是別人設的局”這話也不錯,那裡的遊戲沒哪個玩家勝率過了50%。即便如此,依然總有那麼幾個人,可以賺的盆滿缽滿。他們是職業賭徒,以21 點(Blackjack)為核心業務。

21 點是賭場裡最可能贏錢的遊戲,也是那裡唯一相對公平的遊戲,在採取最佳玩法的情況下,玩家勝率高達49%。不過要想長期贏錢,這2% 的劣勢也無法容忍,高端賭徒們會用變換賭注或者團體作戰的方法把這一點劣勢扳回來。

21點怎麼玩

雖然各種電影裡常有21 點的場景,但它畢竟隻在賭場裡流行,實際玩過的人不多,讓我們先來介紹一下21 點的玩法。

這個遊戲分莊、玩兩方,通常莊家在一張半圓形的牌桌上同時應付各自為戰的5 到7 個玩家,道具就是多副除去大小鬼混在一起的撲克牌。玩家的目標是讓自己牌的點數和大於莊家,不過這個和如果超過21 點就直接出局了(也就是爆了)。花牌算10 點,A可以根據需要算成11 分或1 分。

首回合玩家和莊家都會得到兩張初始牌,各自隻翻開一張。之後每一回合,玩家可以選擇:

● 拿一張牌(Hit)

● 結束拿牌(Stand)

● 賭注翻倍並拿一張牌(Double)

● 如果拿到的兩張牌相同,玩家可把這兩張牌分開,壓上另一份同樣的賭注,並從莊家處獲得另外兩張牌,相當於一次同時玩兩局(Split)

● 認輸,投降輸一半並開始下一局(Surrender)

要注意的是,其中Double、Split、Surrender隻能在第一回合選擇。有的賭場允許Split 之後Double或者繼續Split,有的賭場則不允許Surrender。

當所有玩家都結束拿牌後,莊家翻開首回合蓋住的牌,如果點數和小於17就拿牌,直到點數和大於等於17,莊家不Double、 Split或者Surrender。如果莊家爆牌,所有玩家都獲勝。如果莊家沒有爆,比莊家點數多的玩家獲勝,點數相同的話為平局,點數少就輸了。

當然21 點還有一些特殊的規則比如保險(Insurance)和Blackjack(拿到一張A和一張10點的牌),這裡就不贅述了。

高端賭徒如何要牌

可以看到21 點並不復雜,數學家們很容易找出最佳要牌策略。計算表明,最佳玩法使得玩家勝率達到49% 左右。對職業賭徒來說,做到這點沒有什麼困難,所謂最佳玩法不過是3 個矩陣,記下來就可以了。

上面3個矩陣幾乎涵蓋了賭局上可能出現的所有情況。頂部橫排坐標表示莊家首回合翻開牌的點數(T為10點)。第一個矩陣豎排最左列表示玩家當前手牌點數和, H 即Hard,就是說要把手牌中的A 當成1 點來算(如果有的話),另外兩個矩陣豎排最左列表示的玩家手上的兩張牌是什麼。
剩下的矩陣元素就是玩家對應的最佳操作。其中H 表示Hit, S 表示Stand, P 表示Split, D 表示Double(如果規則不允許就Hit), Ds 表示Double(如果規則不允許就Stand)。

仔細觀察上面3 個矩陣,許多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很有意思的地方,比如說當手牌和為12 時,莊家牌面為2 或3 要Hit, 4 到6 要Stand,當莊家牌面更大時則應堅決要牌。

為什麼會這樣?什麼時候要牌什麼時候不要,概率說了算。不妨讓我們先來看看玩家12 點時Stand 的勝率。莊家開始抽牌後,點數和大於等於17 才會停止。這時玩家要獲勝隻能寄希望於莊家爆牌。

如果莊家起始點數大於等於17,根本不用抽牌。點數和為H16 時,抽到6~T 會爆掉。我們知道,抽到不同大小的牌的概率是相等的(1/13),設F(x) 是當前點數和為x 時繼續抽牌爆掉的概率,那麼:

F(H16) = 8/13 = 0.61538

當莊家手牌點數和為H15 時,抽到7~T 爆掉;抽到A 就化歸成了H16 的情況:

F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580

同理可算出H14 到H6 的爆牌概率。當莊家手牌和為H5 時,情況又有所不同,這時A 可以被算作11點,把這個變化考慮進來後,也不難算出H2—H5 的情況。

那如果是玩家選擇Hit 呢?這時有兩種獲勝情況:

玩家沒爆但是莊家爆牌

玩家和莊家都沒爆但莊家點數小

爆牌的概率已經算過,現在來考慮比大小這種情況。如果莊家第一張牌為2,令G(x) 為莊家得到點數和為x 的手牌的概率,則G(H2) = 1。
如果莊家手牌和變為H3,隻能是在H2 的情況下抽到一張A,即:

G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692

類似地可算出H4 到H 21 的概率,依然要注意A 算成11 點的情況。在雙方都沒爆牌的情況下,玩家通過比大小獲勝隻有以下幾種可能:

玩家拿到21點,莊家拿到20~17點

玩家拿到20點,莊家拿到19~17點

玩家拿到19點,莊家拿到18和17點

玩家拿到18點,莊家拿到17點

玩家從12 點開始抽牌,拿到18 點,相當於從H2 開始抽,拿到H8,因此概率為G(H8),而莊家拿到17 點的概率G(17)。據此情況4的概率為:

P4 = G(H8)×G(17)

同理可以算出P3,P2,P1。因此在玩家手牌和為H12,莊家第一張牌為2 的情況下玩家選擇Hit 的獲勝概率為:

P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958

前面算過,此情況下選擇Stand 獲勝的概率P(S) = F(H2) = 0.35831

P(H) > P(S),所以Hit 為最優策略。

用同樣的方法我們可以算出玩家手牌和為H12 時莊家第一張牌為H3~H11 時玩家選擇Hit 獲勝的概率。把所有情況都算出來,就得到如下的表格:

變換賭注反敗為勝

前面說過,即便背熟這3 個矩陣,勝率依然不能過半。最佳策略隻能讓你不會輸的那麼快,可沒辦法幫你贏錢。在1963 年,麻省理工學院的愛德華•索普教授曾做過實驗,發現剩餘的牌裡小牌(7及以下)越多,莊家越容易獲勝,剩餘的大牌(9、10、J、Q 、K、A)越多,玩家越容易獲勝。這其實容易理解,莊家在開牌時會一直抽牌直到點數大於等於17,如果這時剩下的牌裏大牌越多,莊家爆掉的可能性也就越大。並且大牌多時玩家更容易採取Double 策略增加收益。

說到這裡你可能也猜到了,想贏就要變換賭注。在有利時賭大一點,不利時賭小一點。不過問題是,如何知道剩餘的牌裡什麼時候大牌多?答案是——記牌。

有一種基本的記牌方法叫高低法,它的策略是令2~6 為-1 分, 7~9 為0 分, 10、J、Q、K、A 為1 分,把已經出過的所有牌的分數都加起來,如果這個分數很大的話便說明剩下的牌裏大牌較少。但是發完1 副牌後累積的15 分和發完3 副牌後累積的15分所蘊含的意義顯然不同,因此又有下面這個調整公式:

比如說開局的時候有6 副牌,發完3 副之後累積15 分,那真正值就是15/3 = 5。

《迷失的天才》一書曾介紹了上世紀90 年代一群MIT 高材生通過21點狂賺300 萬的故事。這群人正是用高低法來記牌的,雖然這個方法忽略了2 和6 之間的差異,算不上完美,但它至少不容易錯,要知道在賺得少總比輸掉好。

在現實操作中,MIT 小組會分散好幾個偵查員在不同牌桌上記牌,一旦發現某張桌子牌局很熱,就會發信號示意同伴來下大注,偵查員不動聲色繼續保持小賭注。團隊合作的模式,更容易贏大錢,同時還也很難引起賭場的懷疑。電影《決勝21點》講述的就是這樣一個故事。
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